1. Лінійна функція кількох змінних [ правити | правити код ]

Лінійна функція - функція виду

y = k x + b {\ displaystyle y = kx + b} (Для функцій однієї змінної).

Основна властивість лінійних функцій: приріст функції пропорційно приросту аргументу. Тобто функція є узагальненням прямий пропорційності .

графіком лінійної функції є пряма , З чим і пов'язане її назву. Це стосується речової функції однієї дійсної змінної.

кут між двома прямими, що задаються рівняннями y = k 1 x + b 1, {\ displaystyle y = k_ {1} x + b_ {1},} і y = k 2 x + b 2, {\ displaystyle y = k_ {2} x + b_ {2},} визначається рівністю: t g α = | k 1 - k 2 1 + k 1 k 2 | , {\ Displaystyle \ mathrm {tg} \, \ alpha = \ left | {\ frac {k_ {1} -k_ {2}} {1 + k_ {1} k_ {2}}} \ right |,} де k 1 k 2 ≠ - 1, {\ displaystyle k_ {1} k_ {2} \ neq -1,} тобто прямі не є взаємно перпендикулярними; при k 1 = k 2, α = 0 {\ displaystyle k_ {1} = k_ {2}, ~ \ alpha = 0} і прямі паралельні.

Лінійна функція кількох змінних [ правити | правити код ]

Лінійна функція n {\ displaystyle n} змінних x = (x 1, x 2, ..., x n) {\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})} - функція виду

f (x) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + anxn {\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2 } + \ dots + a_ {n} x_ {n}}

де a 0, a 1, a 2, ..., a n {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}} - деякі фіксовані числа. Областю визначення лінійної функції є все n {\ displaystyle n} -мірним простір змінних x 1, x 2, ..., x n {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}} речових або комплексних . При a 0 = 0 {\ displaystyle a_ {0} = 0} лінійна функція називається однорідною, або лінійної формою .

Якщо всі змінні x 1, x 2, ..., x n {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}} і коефіцієнти a 0, a 1, a 2, ..., a n {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}} - речові числа, то графіком лінійної функції в (n + 1) {\ displaystyle (n + 1)} вимірному просторі змінних x 1, x 2, ..., x n, y {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}, y} є n {\ displaystyle n} -мірним гіперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + anxn {\ displaystyle y = a_ {0} + a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ dots + a_ {n} x_ {n}}

зокрема при n = 1 {\ displaystyle n = 1} - пряма лінія на площині.

Термін «лінійна функція», або, точніше, «лінійна однорідна функція», часто застосовується для лінійного відображення векторного простору X {\ displaystyle X} над деякими полем k {\ displaystyle k} в це поле, тобто для такого відображення f: X → k {\ displaystyle f: X \ to k} , Що для будь-яких елементів x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X} і будь-яких α, β ∈ k {\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in k} справедливо рівність

f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) {\ displaystyle f (\ alpha x + \ beta y) = \ alpha f (x) + \ beta f (y)}

причому в цьому випадку замість терміна «лінійна функція» використовуються також терміни лінійний функціонал і лінійна форма - також означають лінійну однорідну функцію певного класу.

булева функція f (x 1, x 2, ..., x n) {\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})} називається лінійної, якщо існують такі a 0, a 1, a 2, ..., a n {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}} , Де a i ∈ {0, 1}, ∀ i = 1, n ¯ {\ displaystyle a_ {i} \ in \ {0,1 \}, \ forall i = {\ overline {1, n}}} , Що для будь-яких x 1, x 2, ..., x n {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}} має місце рівність:

f (x 1, x 2, ..., xn) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ an ⋅ xn {\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dots , x_ {n}) = a_ {0} \ oplus a_ {1} \ cdot x_ {1} \ oplus a_ {2} \ cdot x_ {2} \ oplus \ dots \ oplus a_ {n} \ cdot x_ {n }} .

Для функцій, які не є лінійними, вживають термін нелінійні функції. Те ж відноситься і до вживання слова нелінійні відносно інших об'єктів, що не володіють властивістю лінійності, наприклад - нелінійні диференціальні рівняння. Зазвичай термін використовується, коли функціональну залежність спочатку наближають лінійної, а потім переходять до вивчення більш загального випадку, часто починаючи з молодших ступенів, наприклад розглядаючи квадратичні поправки.

Нелінійні рівняння досить довільні. Наприклад, нелінійної є функція y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2}} .

У ряді випадків цей термін може застосовуватися і до залежностей f = k x + b {\ displaystyle f = kx + b} , Де b ≠ 0 {\ displaystyle b \ neq 0} , Тобто до неоднорідним лінійним функцій, оскільки вони не володіють властивістю лінійності, а саме в цьому випадку f (x 1 + x 2) ≠ f (x 1) + f (x 2) {\ displaystyle f (x_ {1} + x_ {2}) \ neq f (x_ {1}) + f (x_ {2})} і f (c x) ≠ c f (x) {\ displaystyle f (cx) \ neq cf (x)} . Наприклад, нелінійної залежністю вважають σ (τ) {\ displaystyle \ sigma (\ tau)} для матеріалу з зміцненням (див. теорія пластичності ).

• Довідник з математики для інженерів і учнів втузів. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М .: Наука, 1981.- 720с., Іл.