1. Відеоурок і шаблон Excel
2. Приклади рішень завдань про покупку лотерейних квитків
3. Корисні посилання

Дякую за ваші закладки та рекомендації

Після розібраних імовірнісних задач на вибір куль з урни і деталей з ящика , Перейдемо до ще однієї популярної задачі на гіпергеометричну ймовірність - завданню про покупку лотерейних квитків. Загальна постановка задачі наступна:

У лотереї з $ N $ квитків $ K $ виграшні і $ NK $ - квитки без виграшу. Придбано $ n $ лотерейних квитків. Знайти ймовірність того, що з них рівно $ k $ виграшних (відповідно, $ nk $ безвиграшних) квитків.

Спочатку знайдемо загальне число випадків - це число всіх різних способів вибрати будь-$ n $ квитків із загального числа $ N $ продаються квитків (без урахування порядку), тобто число поєднань $ C_N ^ n $ (див. Докладніше про поєднання ).

Тепер знайдемо число всіх способів вибрати $ k $ виграшних квитків з $ K $ можливих - це поєднання $ C_K ^ k $, і одночасно число всіх способів вибрати $ nk $ невиграшних квитків з $ NK $ можливих - $ C_ {NK} ^ {nk } $. за правилом твори перемножая ці числа, отримаємо число випадків, що сприяють нашому події - $ C_K ^ k \ cdot C_ {NK} ^ {nk} $.

застосовуючи класичне визначення ймовірності, тобто поділивши число сприятливих події результатів на загальне число результатів випробування (покупки квитків), прийдемо до шуканої формулою:

$$ P = \ frac {C_K ^ k \ cdot C_ {NK} ^ {nk}} {C_N ^ n}. \ Qquad (1) $$

Відеоурок і шаблон Excel

подивіться наш ролик про рішення задач про лотерейні квитки в схемі гіпергеометричною ймовірності, дізнайтеся, як використовувати Excel для вирішення типових задач.

Розрахунковий файл Ексель з відео можна безкоштовно скачати і використовувати для вирішення своїх завдань.

Приклади рішень завдань про покупку лотерейних квитків

Приклад 1. Серед 100 лотерейних квитків 2 виграшних. Ви купуєте 3 квитка. Яка ймовірність, що ви нічого не виграєте?

Починаємо рішення задачі з введення події $ A = $ (З куплених 3 квитків жоден з них не виграє) і загальної формули для знаходження ймовірності. Так як мова йде про вибір елементів з деякого безлічі, використовуємо класичне визначення ймовірності $ P (A) = m / n $, де $ n $ - загальне число всіх рівно можливих елементарних фіналів, а $ m $ - число випадків, що сприяють події $ A $.

Спочатку знайдемо загальне число випадків - це число способів вибрати будь-які 3 квитка з 100 можливих. Так як порядок вибору несуттєвими, використовуємо формулу поєднань з 100 елементів по 3: $ n = C_ {100} ^ 3 $.

Тепер переходимо до числа сприятливих нашому події результатів. Для цього потрібно, щоб з всі 3 квитки були без виграшу. Всього таких квитків $ 100-2 = 98 $, значить способів вибору $ m = C_ {98} ^ 3 $.

Шукана ймовірність:

$$ P (A) = \ frac {m} {n} = \ frac {C_ {98} ^ 3} {C_ {100} ^ 3} = \ frac {152096} {161700} = 0.941. $$

Імовірність залишитися без виграшу велика - 94,1% (при цьому куплений не один, а цілих 3 квитка). Втім, будь-яка лотерея явно програшній для учасника, пам'ятайте про це. Не варто шукати схеми і правила виграшу в лотерею. Їх не існує.

Приклад 2. Серед 8 лотерейних квитків 4 виграшних. Навмання взяли 5 квитків. Визначити ймовірність того що серед них 2 виграшних.

Підставляємо в формулу (1) значення: $ K = 4 $ виграшних квитка, $ NK = 8-4 = 4 $ невиграшних квитка, всього $ N = 8 $ квитків. Вибираємо $ n = 5 $ квитків, з них повинно бути $ k = 2 $ виграшних і відповідно, $ nk = 5-2 = 3 $ без виграшу. Отримуємо потрібну ймовірність:

$$ P = \ frac {C_ {4} ^ 2 \ cdot C_ {4} ^ {3}} {C_ {8} ^ 5} = \ frac {6 \ cdot 4} {56} = 0.429. $$

Приклад 3. У лотереї 24 квитка, з них 10 виграшних і 14 порожніх. Знайти ймовірність того, що з трьох вийнятих квитків, по крайней мере, один виявиться виграшним.

Введемо вихідне подія:
$ A = $ (Серед 3 вийнятих квитків, по крайней мере, один виявиться виграшним),
а також протилежне йому подія, яке можна записати як:
$ \ Overline {A} = $ (Всі три обрані квитки будуть без виграшу).

Будемо шукати ймовірність події $ \ overline {A} $. Випишемо значення параметрів: $ K = 10 $ виграшних квитків, $ NK = 14 $ невиграшних (порожніх) квитка, всього $ N = 24 $ квитка. Вибираємо $ n = 3 $ квитка, з них повинно бути $ k = 0 $ виграшних і відповідно, $ nk = 3 $ без виграшу. Підставляємо в формулу (1) і отримуємо:

$$ P (\ overline {A}) = \ frac {C_ {10} ^ 0 \ cdot C_ {14} ^ {3}} {C_ {24} ^ 3} = \ frac {1 \ cdot 364} {2024 } = 0.18. $$

Тоді ймовірність шуканого події (що буде хоча б один виграшних квиток), дорівнює:

$$ P (A) = 1 - P (\ overline {A}) = 1 0.18 = 0.82. $$

Приклад 4. У розіграші лотереї беруть участь 100 квитків, серед яких 25 виграшних. Яка ймовірність залишитися без виграшу, придбавши 3 квитка лотереї?

Підставляємо в формулу (1) значення: $ K = 25 $ виграшних квитків, $ NK = 100-25 = 75 $ невиграшних квитка, всього $ N = 100 $ квитків бере участь в розіграші лотереї. Вибираємо $ n = 3 $ квитка, з них повинно бути $ k = 0 $ виграшних і відповідно, $ nk = 3 $ без виграшу. Приходимо до відповіді:

$$ P = \ frac {C_ {25} ^ 0 \ cdot C_ {75} ^ {3}} {C_ {100} ^ 3} = \ frac {1 \ cdot 67525} {161700} = 0.418. $$
Корисна сторінка? Збережи або розкажи друзям

Корисні посилання

Пошукайте готові завдання в розв'язнику: